Matemática discreta Ejemplos

$4 x + 5 y = 18$ , $3 x - 9 y = - 12$

Paso 1

Resuelve $x$ en $4 x + 5 y = 18$ .

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Paso 1.1

Resta $5 y$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = 18 - 5 y$

$3 x - 9 y = - 12$

Paso 1.2

Divide cada término en $4 x = 18 - 5 y$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $4 x = 18 - 5 y$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{18}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{18}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{18}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

$x = \frac{18}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

$x = \frac{18}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $18$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$x = \frac{2 (9)}{4} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

Paso 1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

Paso 1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

Paso 1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{9}{2} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} + \frac{- 5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$3 x - 9 y = - 12$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $3 x - 9 y = - 12$ por $\frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$ .

$3 (\frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}) - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $3 (\frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}) - 9 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (\frac{9}{2}) + 3 (- \frac{5 y}{4}) - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $3 (\frac{9}{2})$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Combina $3$ y $\frac{9}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{2} + 3 (- \frac{5 y}{4}) - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $3$ por $9$ .

$\frac{27}{2} + 3 (- \frac{5 y}{4}) - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} + 3 (- \frac{5 y}{4}) - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $3 (- \frac{5 y}{4})$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{27}{2} - 3 \frac{5 y}{4} - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Combina $- 3$ y $\frac{5 y}{4}$ .

$\frac{27}{2} + \frac{- 3 (5 y)}{4} - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$\frac{27}{2} + \frac{- 15 y}{4} - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} + \frac{- 15 y}{4} - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{27}{2} - \frac{15 y}{4} - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} - \frac{15 y}{4} - 9 y = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $- 9 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{27}{2} - \frac{15 y}{4} - 9 y \cdot \frac{4}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.3.1

Combina $- 9 y$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{27}{2} - \frac{15 y}{4} + \frac{- 9 y \cdot 4}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{27}{2} + \frac{- 15 y - 9 y \cdot 4}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} + \frac{- 15 y - 9 y \cdot 4}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.4.1.1

Factoriza $3 y$ de $- 15 y - 9 y \cdot 4$ .

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Paso 2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $3 y$ de $- 15 y$ .

$\frac{27}{2} + \frac{3 y (- 5) - 9 y \cdot 4}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $3 y$ de $- 9 y \cdot 4$ .

$\frac{27}{2} + \frac{3 y (- 5) + 3 y (- 3 \cdot 4)}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $3 y$ de $3 y (- 5) + 3 y (- 3 \cdot 4)$ .

$\frac{27}{2} + \frac{3 y (- 5 - 3 \cdot 4)}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} + \frac{3 y (- 5 - 3 \cdot 4)}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.2

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{27}{2} + \frac{3 y (- 5 - 12)}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.3

Resta $12$ de $- 5$ .

$\frac{27}{2} + \frac{3 y \cdot - 17}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.1.4

Multiplica $- 17$ por $3$ .

$\frac{27}{2} + \frac{- 51 y}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} + \frac{- 51 y}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 2.2.1.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{27}{2} - \frac{51 y}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} - \frac{51 y}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} - \frac{51 y}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} - \frac{51 y}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{27}{2} - \frac{51 y}{4} = - 12$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{27}{2} - \frac{51 y}{4} = - 12$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $\frac{27}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{51 y}{4} = - 12 - \frac{27}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.1.2

Para escribir $- 12$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{51 y}{4} = - 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.1.3

Combina $- 12$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{51 y}{4} = \frac{- 12 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{51 y}{4} = \frac{- 12 \cdot 2 - 27}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $- 12$ por $2$ .

$- \frac{51 y}{4} = \frac{- 24 - 27}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.1.5.2

Resta $27$ de $- 24$ .

$- \frac{51 y}{4} = \frac{- 51}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$- \frac{51 y}{4} = \frac{- 51}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{51 y}{4} = - \frac{51}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$- \frac{51 y}{4} = - \frac{51}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{4}{51}$ .

$- \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51 y}{4}) = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $- \frac{4}{51} (- \frac{51 y}{4})$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{51}$ al numerador.

$\frac{- 4}{51} \cdot (- \frac{51 y}{4}) = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{51 y}{4}$ al numerador.

$\frac{- 4}{51} \cdot \frac{- 51 y}{4} = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.1.3

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{51} \cdot \frac{- 51 y}{4} = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot - 1}{51} \cdot \frac{- 51 y}{4} = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{51} \cdot (- 51 y) = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$\frac{- 1}{51} \cdot (- 51 y) = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $51$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Factoriza $51$ de $- 51 y$ .

$\frac{- 1}{51} \cdot (51 (- y)) = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{51} \cdot (51 (- y)) = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.3

Multiplica.

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Paso 3.3.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.1.1.3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = - \frac{4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica $- \frac{4}{51} (- \frac{51}{2})$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{4}{51}$ al numerador.

$y = \frac{- 4}{51} \cdot (- \frac{51}{2})$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{51}{2}$ al numerador.

$y = \frac{- 4}{51} \cdot \frac{- 51}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.3

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y = \frac{2 (- 2)}{51} \cdot \frac{- 51}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.4

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \cdot - 2}{51} \cdot \frac{- 51}{2}$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.1.5

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 2}{51} \cdot - 51$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = \frac{- 2}{51} \cdot - 51$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común de $51$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1

Factoriza $51$ de $- 51$ .

$y = \frac{- 2}{51} \cdot (51 (- 1))$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 2}{51} \cdot (51 \cdot - 1)$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - 2 \cdot - 1$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = - 2 \cdot - 1$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y = 2$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = 2$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = 2$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = 2$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

$y = 2$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $2$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{9}{2} - \frac{5 y}{4}$ por $2$ .

$x = \frac{9}{2} - \frac{5 (2)}{4}$

$y = 2$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{9}{2} - \frac{5 (2)}{4}$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $5 (2)$ .

$x = \frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 5}{4}$

$y = 2$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

$y = 2$

Paso 4.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

$y = 2$

Paso 4.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{9}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 2$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 2$

$x = \frac{9}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 2$

Paso 4.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{9 - 5}{2}$

$y = 2$

Paso 4.2.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.3.1

Resta $5$ de $9$ .

$x = \frac{4}{2}$

$y = 2$

Paso 4.2.1.3.2

Divide $4$ por $2$ .

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(2, 2)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(2, 2)$

Forma de la ecuación:

$x = 2, y = 2$

Paso 7